Sistema masa-resorte

Sistema masa-resorte

El sistema masa resorte está compuesto por una masa puntual, un resorte ideal una colgante y un punto de sujeción del resorte..
El resorte ideal puede ser un resorte de alto coeficiente de elásticidad y que no se deforma en el rango de estiramiento del resorte.La ecuación de fuerzas del sistema masa resorte es: m a = – k x donde x es la posición (altura) de la masa respecto a la línea de equilibrio de fuerzas del sistema, k es la constante de elasticidad del resorte y m la masa del cuerpo que es sometido a esta oscilación. Esta ecuación puede escribirse como :m d2 x/d t2 = – k x cuya solución es x = Am sin ( w t + ø), donde: Am es la máxima amplitud de la oscilación, w es la velocidad angular que se calcula como ( k /m) 0,5. La constante ø es conocida como ángulo de desface que se utiliza para ajustar la ecuación para que calce con los datos que el observador indica.
De la ecuación anterior se puede despejar el periodo de oscilación del sistema que es dado por: T = 2 pi (m/k)0,5 A partir de la ecuación de posición se puede determinar la rapidez con que se desplaza el objeto: Vs = valor absoluto de ( dx /dt). Vs = |Am (k/m)0,5 * cos(wt + ø) |. En la condición de equilibrio la fuerza ejercida por la atracción gravitacional sobre la masa colgante es cancelada por la fuerza que ejerce el resorte a ser deformado. A partir de esta posición de equilibrio se puede realizar un estiramiento lento hasta llegar a la amplitud máxima deseada y esta es la que se utilizará como Am de la ecuación de posición del centro de masa de la masa colgante. Si se toma como posición inicial la parte más baja, la constante de desface será – pi/2, pues la posición se encuentra en la parte más baja de la oscilación.

http://namathis.com/tema.php?videoid=YtNH8FmRKnk&tema=ecuaciones-diferenciales-aplicacion-ecuaciones-diferenciales-problema-masa-resorte
El sistema de amortiguamiento de un automovial (por llanta) quepuede considerarse como un caso de masa resorte en un medio viscozo (sistema crticamente amortiguado), una balanza para pesar verduras o carnes (de supermercado), en fin creo que abundan

El sistema oscilante, formado por un resorte y un bloque sujeto a él, describe un M.A.S. y tiene una energía mecánica (Em = Ec + Ep).
El Principio de conservación de la energía mecánica afirma que: La energía mecánica total permanece constante durante la oscilación.
Em = Ec + Ep = cte
EM = ½ K x2 + ½ m v 2
La energía potencial (½ K x2) que le comunicamos al resorte al estirarlo se transforma en E. cinética (½ m v 2) asociada a la masa unida al resorte mientras se encoje. La energía cinética de la masa alcanza su valor máximo en la posición de equilibrio (mitad del recorrido). Mientras se comprime el resorte, la energía cinética se va almacenando en forma de energía potencial del resorte.
En ausencia de rozamientos, el ciclo se repite indefinidamente (no se amortigua) .
Tipo de energía Extremo Centro
Cinética Nula Máxima
Potencial elástica Máxima Nula
En el centro de la oscilación sólo tiene energía cinética y en los extremos sólo energía potencial
uando una partícula oscila con MAS, es porque la fuerza neta que actúa sobre ella tiene la siguiente forma:

Una fuerza de este tipo es elástica. Con base en el modelo del sistema masa-resorte, se puede hacer un análisis claro que permite encontrar la relación para la energía potencial elástica (figura 1).

a
b
c
Figura 1
En 1a el resorte posee su longitud original, por lo que su deformacion es nula. En esta situación el sistema masa resorte no tendrá energía potencial elástica (no hay energía almacenada).En la figura 1b un agente externo lo ha elongado en una cantidad igual a . Para lograr esto, el agente externo realizó un trabajo sobre el sistema (sistema masa-resorte), cediendole energía la cual queda almacenada en forma de energía potencial elástica. En la figura 1c el agente externo realiza aún más trabajo, por lo que el sistema va aumentando su energía potencial.
En la figura 2 se ilustra el diagrama de cuerpo libre de la masa. En este diagrama, es la fuerza normal que ejerce el piso, es la fuerza de gravedad ejercida por el planeta (peso), es la fuerza ejercida por el agente externo, y la fuerza ejercida por el resorte. Se ha despreciado la fuerza de rozamiento. Si la deformación se obtiene a velocidad constante, aplicando la primera ley de Newton, se concluye que en todo instante y son iguales en magnitud. Es decir,

Figura 2
El trabajo realizado por el agente externo para elongar el resorte desde hasta es,

Figura 2

Por tanto el trabajo realizado por la fuerza elástica será el negativo de :

La ecuación anterior muestra que el trabajo realizado por la fuerza elástica se puede expresar en términos de los valores de una magnitud escalar de la forma, evaluada al inicio (en ) y al final (en ) de la elongación. Esta cantidad es la denominada Energía Potencial Elástica U y así se calculará la energía potencial del oscilador armónico (partícula en M.A.S.)

donde es la elongación del oscilador. Según el conocido teorema de la energía potencial, se puede concluir que la fuerza responsable de un M.A.S. es conservativa.
Energía Cinética (K)
Aplicando la definición de energía cinética al oscilador, se obtiene

Energía Cinética y potencial del Oscilador expresadas en función del tiempo
La elongación y la velocidad del oscilador armónico están dados por

por tanto las energías cinética y potencial del oscilador armónico toman la siguiente forma en función del tiempo,

En la siguiente simulación se ilustra esto.
http://fisica.medellin.unal.edu.co/recursos/lecciones/leccion_oscilaciones/concepto/index04.htm
Energía Mecánica (E)
Con base en las dos expresiones anteriores, se concluye que la energía mecánica ( ) del oscilador armónico será igual:

o sea,

http://fisica.medellin.unal.edu.co/recursos/lecciones/leccion_oscilaciones/ecuaciones/ec_196.gif siendo la constante de fuerza del oscilador armónico.
En la siguiente simulación se ilustra esto:
http://fisica.medellin.unal.edu.co/recursos/lecciones/leccion_oscilaciones/concepto/index04.htm
La parábola es la gráfica de la energía potencial del oscilador armónico en función de la elongación ( ) . http://fisica.medellin.unal.edu.co/recursos/lecciones/leccion_oscilaciones/ecuaciones/ec_190.gif
Se dice que representa un «pozo de potencial», ya que es cóncava hacia arriba; indicando que el oscilador no es capaz de salirse de una región del espacio, que en este caso tiene un ancho igual a dos veces la amplitud de oscilación. La recta paralela al eje horizontal (eje de la elongación ), representa la energía mecánica (energía total). La ordenada representa la energía potencial de la partícula en la posición seleccionada; la resta entre la altura del pozo (energía mecánica) y la ordenada (energía potencial) , representa la energía cinética.
Debido a la conservación de la energía mecánica, la energía cinética del oscilador armónico se puede también escribir como,

Valores medios de la energías en un oscilador armónico
El valor medio durante un período de la energía cinética es,

análogamente el valor de la energía potencial es,

y el valor medio de la energía mecánica es,

igual al valor de la energía mecánica en cualquier instante. Esto es lógico, ya que la energía mecánica se conserva (la fuerza elástica es conservativa).
2.2Ejercicios http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/mas/energia/MAS_3ap_energia.htm
2.3 DOCUMENTO DESCARGABLE: Sistema masa